Resumo álgebra linear

Vetor: unidade matemática com direção, sentido, módulo e mais, como limite conhecido por um ponto inicial $p_i$ e um final $p_f$.

$$v = p_ip_f =p_f-p_i=<x_{pf}-x_{pi},\ x_{pf}-x_{pi}>$$ A norma de um vetor v é medida pelo seu comprimento e é dado por: $$ |v|= <x, y, z> =\sqrt{x^2+y^2+z^2} $$ ![[Pasted image 20250831083217.png]]

produto interno(escalar): simbolizado pelo operador $.$ produz um valor relacionado ao comprimeto dos 2 vetores e ao ângulo formado entre eles: $$ v.w=x_v *x_w + y_v * y_w + z_w * z_v = |v||w|cos(\tetha) $$ ![[Pasted image 20250831083551.png]] algumas props: quando $\tetha = 90°$, $v.w = 0$.

produto vetorial: resulta em um terceiro ortogonal aos 2 primeiros

$$ u = v\times w= <y_v * z_w - z_v * y_w, \ x_v * z_w - x_w * z_v,\ x_v * y_w - x_w - y_w> $$ o comprimento do vetor resultante é equivalente a área do paralelogramo formado pelos vetores $v$ e $w$. $|v\times w| = |v||w|\sin(\tetha)$

Podemos utilizar o produto vetorial, por exemplo, para verificar se dois vetores são paralelos.

Dado um espaço vetorial V e outro W (com seus devidos axiomas) sobre um corpo K, podemos definir transformações lineares como $T: V \rightarrow W$ se para $\forall u, v \in V, \alpha \in K$ se valem:

  • $T(v+u)=T(v)+T(u)$
  • $T( \alpha v) = \alpha T ( v )$

O mundo da computação gráfica é dividido em alguns sistemas de coordenadas simultâneos (espaços vetoriais sobre o mesmo corpo):

  • Sistema de Coordenadas do Objeto (Modelo);
  • Sistema de Coordenadas do Mundo;
  • Sistema de Coordenadas da Câmera;
  • Sistema de Coordenadas de Normalizado (-1 a 1 para se trabalhar com a tela do dispositivo);
  • Sistema de Coordenadas do Dispositivo;

Transformações geométricas

Assim, podemos definir as seguintes transformações geométricas a seguir como:

Translação (Translate)

Soma do vetor de Translação T a P (ponto).

Escala (Scale)

Multiplicamos o vetor P (x, y, z) pela matriz de escala: $$ \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0\ 0 & s_y & 0 \ 0 & 0 & s_z \ \end{bmatrix} $$

Cisalhamento (Shearing)

Fator de deslocamento: multiplicar todos os vertices por:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \ c_y & 1 \ \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} 1 & c_x \ 0 & 1 \ \end{bmatrix} $$

Espelhamento

Inverter (pelo eixo de )

Multiplicar pelo oposto do eixo que se quer refletir (troque -1 por 1 e mantenha aquele eixo da mesma maneira que antes)

$$ \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \ \end{bmatrix} $$

Rotação

Matriz de rotação:

$$ R(\tetha) \times P = \begin{bmatrix} cos(\tetha) & -sin(\tetha) \ sin(\tetha) & cos(\tetha) \ \end{bmatrix} $$

Rotação no 3D

trave o eixo em si e use a formula acima, chegando em: ![[Pasted image 20250831084702.png]]

Transformações Homogêneas

Coordenadas homogêneas

Pontos equivalentes ao tridimensional, porem com uma dimensao a mais. ![[Pasted image 20250831084959.png]]

Assim, traduzimos a translação para: $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_1 \ 0 & 1 & 0 & t_2 \ 0 & 0 & 1 & t_3 \ 0 & 0 & 0 & t_4 \end{bmatrix}$$

Podemos fazer em Coordenadas Homogêneas todas as transformações como multiplicações em sequência, ao invés de nos preocuparmos com ordem de execução.

opengl

Representações em opengl das transformações mencionadas glTranslatef glScalef glRotatef