AL
AB = BA = Id.
Esse método de escalonar a matriz ampliada do sistema para encontrar sua solução é conhecido como método de Gauss-Jordan.
SISTEMA DE CRAMER
AX = B ⇔
A⁻¹(AX) = A⁻¹B ⇔
(A⁻¹A)X = A⁻¹B ⇔
X = A⁻¹B.
Espaço vet
u + v = v + u (comutativa).
u + (v + w) = (u + v) + w (associativa).
Existe em V um elemento neutro, denotado por 0, tal que u + 0 = u.
Para todo elemento u ∈ V , existe o elemento oposto, denotado por −u tal que u + (−u) =
(−u) + u = 0.
(M) Em relação a multiplicação, para todo u, v ∈ V e α, β ∈ R, tem-se:α(βu) = (αβ)u.
(α + β)u = αu + βu.
α(u + v) = αu + αv.
1 · u = u.
SubEspaço vet de W
(a) 0 ∈ W (elemento neutro da soma est ́a em W);
(b) ∀u, v ∈ W, u + v ∈ W;
(c) ∀α ∈ R e ∀u ∈ W, tem αu ∈ W.
Soma direta
- W = U + V ;
- U ∩ V = {0}.
Combinação linear
O subespaço vetorial é chamado de subespaço gerado por S. Assim, cada elemento de < S > é uma combinação linear de S.
Para subespa ̧cos gerados temos as seguintes propriedades:
(a) S ⊆< S >.
(b) Se S1 ⊆ S2 ⊆ V , ent ̃ao < S1 >⊆< S2 >.
(c) « S »=< S >.
(d) Se S1 e S2 s ̃ao subconjuntos de V , ent ̃ao < S1 ∪ S2 >=< S1 > + < S2 >.
Base
Uma base de V ́e um subconjunto finito β ⊂ V no qual as seguintes condições se verificam.
- β é linearmente independente;
- V =<β>.
Dimensão
Chamamos de dimens ̃ao de V e
denotamos por dim(V ), o n ́umero de vetores de uma base qualquer de V . Se esse n ́umero de vetores
for finito, dizemos que V ́e um espa ̧co vetorial de dimens ̃ao finita.
Teorema da Invariância
- Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então duas bases quaisquer de V tem o mesmo número de vetores.
PROPS
- Todo subespa ̧co vetorial de um espa ̧co vetorial finitamente gerado ́e tamb ́em finitamente gerado.
- Se W ́e um subespa ̧co vetorial de V e dim(W) = dim(V ), ent ̃ao W = V .
Dim da soma
dim(U ∩ V ) = dim(U) + dim(V ) - dim(U + V )
Coordenadas
Uma base ordenada de um espaço vetorial V é uma base na qual fixamos quem é o primeiro vetor, quem é o segundo vetor, e assim por diante.
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Mudança de base
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TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Propiedades
$a) T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2), ∀u1, u2 ∈ U;$
$b) T(λu) = λT(u), ∀u ∈ U e ∀λ ∈ R.$
$T(0) = T(u + (−u)) = T(u) + T(−u) = T(u) − T(u) = 0.$
ou seja, se T(0) ≠ 0 então T não é linear
Núcleo e imagem
$Ker(T) = {u ∈ U : T(u) = 0}.$
Teorema nucleo/imagem
$dim(U) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)).$
Imagem
$Im(T) = {v ∈ V : ∃u ∈ U / T(u) = v}.$
Injetora
$T \ é \ injetora ⇔ Ker(T) = {0}.$
Sobrejetora
$T \ é \ sobrejetora ⇔ dim(U) = dim(V) : U,V ∈ L(U,V);$
Isomorfismo
Se T é bijetora (sobrejetora e injetora)
Obs:
$dim(U) > dim(V) \ -> não \ é \ injetora$
$dim(U) < dim(V) \ -> não \ é \ sobrejetora$
em espaços de mesma dimensão, ser injetora = ser sobrejetora
Operações em transformações lineares
Soma
$(F + G)(u) = F(u) + G(u).$
Multiplicaçaõ por real
$(αF)(u) =αF(u).$
Composição
$(G ◦ F)(u) = G(F(u)).$
Matriz composta de ToF
$(T ◦ F)α,γ = (T)β,γ · (F)α,β.$
Autovalores e autovetores
def: todos os vetores que são multiplos de v.
$T(v) = λv ∈ V,λ ∈ R.$
precisa satisfazer essa equação
$T(v) = λv ⇔ T(v) − λv = 0 ⇔ (T − λId)v = 0 ⇔ v ∈ Ker(T − λId).$
Produto Interno
propriedades:
$(i) <u, u> \ \geq 0\newline (ii) <au, v> \ = a<u,v> \newline (iii) <u+v, w> = <u,w> + <v,w> \newline (iv) <u,v> = <v,u> \newline extra:\newline (0) <0, u> = 0$
Norma
Norma induzida do produto interno
$|| u|| = \sqrt{<u,u>}$
Propriedades norma
$(i) \ ||a.u|| = a||u||, a \in \real,\forall u\in U \newline (ii)\ ||u|| \geq 0, ||u||=0 \iff u = 0\newline (iii) \ ||u+v|| = ||u||+||v||$
Distância
$d(u,v) = ||u-v||$
ângulo
$\cosθ = \frac{<u,v>}{||u||.||v||} \ \le \ |1|$
Ortogonalidade
2 vetores são ortogonais se e somente se θ = 90°
$cosθ = 0 \iff <u,v> \ = 0 \implies u\perp v$