Operações elementares como operações matriciais

  1. Matriz elementar de permutação de linhas

    • A matriz $P_{i,j}$ que troca as linhas i e j de lugar na matriz identidade $I_{n}= (\delta_{ij})$ é chamada e matriz de permutação nas linhas i e j e, quando multiplicada por uma matriz A à esquerda, ela permuta as linhas i e j de A.
    • Obs: $P_{i,j}$ é inversível e $P^{-1} = P_{ij}$

  2. Matriz elementar que multiplica linhas por um numero $\alpha \neq 0$

    • A matriz $D_{i}(\alpha)$ , obtida substituindo $\delta_{ii} = 1$ por $\alpha$ na $I_n$, quando multiplicada à esquerda multiplica a linha inteira.
    • Obs: $D_{i}(a)^{-1} = D_{i}(a^{-1})$

  3. Matriz elementar que multiplica linha i por $\alpha \neq 0$ e adiciona à linha j

    • A matriz $E_{ij}(\alpha)$, obtido substituindo o termo $\delta_{ji}$ de matriz identidade $I_{n}$ quando multiplicada à esquerda em uma matriz A tem o efeito de multiplicar linha i por $\alpha \neq 0$ e adicionar à linha j
    • Obs:
      • $E_{ij}(\alpha)$ é inversível e $E_{ij}(\alpha)^{-1} = E_{ij}(-\alpha)$
      • Podemos realizar muitas operações $E_{ij}$ ao mesmo tempo

Processo sistemático de soluções de sistemas

1°) Suponha que $a_{11}^{(0)} \neq 0$. O termo $a_{11}$ é chamado de pivô da 1° etapa. Sejam: $$m_{21}=\frac{a_{21}^{(a)}}{a_{11}^{(a)}} \ e \ m_{31}=\frac{a_{31}^{(a)}}{a_{11}^{(a)}}$$

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