Ajuste de Curvas com mínimos quadrados
Mínimos quadrados
Considere o problema de aproximar uma $f(x)$ ou um conjunto de dados ($X, Y$) por uma função $g(X)$ mais simples na forma que:
- (1) A diferença entre $f(x)$ e $g(x)$ seja mínima.
- (2) a função $g(x)$ seja mais fácil de ser manuseada.
Caso Discreto
A condição (2) do caso discreto é a seguinte:
| X | $x_1$ | $\dots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|
| Y | $f(x_{1})$ | $\dots$ | $f(x_n)$ |
| $$I = \sum_{j=1}^{n}\limits[f(x_{j})-g(x_{j})]^{2}\times w_{j}$$ | |||
| onde $w_{j}$ (weight) são os pesos atribuídos a cada diferença. Vamos considerar $w_{j} =1$ a priori. |
Escolhemos $n$ funções $g, g_{1}, g_{2} \dots$ contínuas, e tomamos $g(x)$ como a comb. linear $G(x) = \alpha_{1}g_{1}(x) +\dots +\alpha_{n}g_{n}(x)$ com $\alpha_{j} \in R$.
Exemplo 1: Considere a tabela
| x | -2 | -1.5 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | -1 | 0.4 | 2.5 | 3 | 3.4 | 2.9 | 1.9 | 1 | -1.5 |
Representando os dados da tabela no plano cartesiano vemos que a “melhor” função $G(x)$ que se ajusta aos pontos é uma função quadrática., ex: $G(x) = \alpha{1}+\alpha_{2}x^{2}$ (nesse caso, $\alpha x$)_ foi suprimido pois o gráfico aparenta estar simétrico em relação ao eixo Y.
Portanto: $g_{1}(x) = 1$ $g_{2}(x) = x^{2}$
Vamos minimizar $I = \sum_{j=1}^{n}\limits[f(x_{j})-g(x_{j})]^{2}$
$F(\alpha_{1},…, \alpha_{n}) = \sum_{j=1}^{n}\limits[f(x_{j})-g(x_{j})]^{2}$
Pausa pro Cálculo 3 - Derivada Parcial
$f(x,y)$ de 2 variáveis independentes.
Derivada Parcial é a derivada restrita apenas a uma das variáveis da função.
$f(x,y) = x^{2}\times y^{2}$
$g(x,y) = x^{2}+ y^{2}$
ex: $\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2}\times 2x = 2xy^{2}$
$\frac{\partial g}{\partial x} = 2x + 0= 2x$
$(*) = \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$ (pontos críticos)
queremos encontrar:
$\begin{cases} \frac{\partial F}{\partial \alpha_{1}} = 0 \ \vdots \ \frac{\partial F}{\partial \alpha_{n}} = 0 \end{cases}$
$F(\alpha_{1},…, \alpha_{n}) = \sum_{j=1}^{n}\limits[f(x_{j})-\alpha_{1}g_{1}(x_{j})]^{2}-\alpha_{2}g_{2}(x_{j})]^{2}-\dots -\alpha_{n}g_{n}(x_{j})]^{2}$
Calculando $\frac{\partial F}{\partial\alpha_{1}}$: $\frac{\partial F}{\partial\alpha_{i}} = \sum_{j=1}^{n}\limits 2\times [f(x_{j})-\alpha_{1}g_{1}(x_{j})]^{2}-\alpha_{2}g_{2}(x_{j})]^{2}-\dots -\alpha_{n}g_{n}(x_{j})] - g_{i}(x_{j})$ $\sum_{j=1}^{n}\limits 2\times f(x_{j}) - g_{i}(x_{j}) + 2\times \sum^{N}{j=1}\limits\sum^{n}{k=1}\limits\alpha_{k}g_{k}(x_{j})g_{i}(x_{j})$
Como precisamos resolver o sistema:
$\begin{cases} \frac{\partial F}{\partial \alpha_{1}} = 0 \ \vdots \ \frac{\partial F}{\partial \alpha_{n}} = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{\partial F}{\partial \alpha_{1}} = -2\sum_{j=1}^{N}\limits \times f(x_{j}) - g_{i}(x_{j}) + 2\times \sum^{N}{j=1}\limits\sum^{n}{k=1}\limits\alpha_{k}g_{k}(x_{j})g_{i}(x_{j}) \ \vdots \ \frac{\partial F}{\partial \alpha_{n}} = -2\sum_{j=1}^{n}\limits \times f(x_{j}) - g_{n}(x_{j}) + 2\times \sum^{N}{j=1}\limits\sum^{n}{k=1}\limits\alpha_{k}g_{k}(x_{j})g_{n}(x_{j})\end{cases}$
Então, temos:
$\begin{cases} \sum^{n}{k=1}\limits \alpha{k}a_{1k} = b_{1} \\sum^{n}{k=1}\limits \alpha{k}a_{2k} = b_{2} \ \vdots \ \sum^{n}{k=1}\limits \alpha{k}a_{nk} = b_{n} \end{cases}$ onde $a_{ik} = \sum_{j=1}^{N}\limits g_{i}g_{k}(x_{j})$ e $b_{i} = \sum_{j=1}^{N}\limits g_{i}(x_{j})f(x_{j})$
Caso Contínuo
$$I = \int^{b}_{a}[f(x) - g(x)]^{2}times $$ onde $w:[a,b]\rightarrow R$ é a função-peso.
Seja $g(x) = \alpha_{1} g_{1}(x) + \alpha_{2} g_{2}(x)$
$\begin{cases} a_{11} = \int^{b}{a} g{1}(x)^{2}dx \a_{12}= \int^{b}{a}g{1}(x)g_{2}(x)dx \ a_{21}= a_{12} \ a_{22} = \int^{b}{a}g{2}(x)^{2}dx \end{cases}$
$b_{1}= \int^{b}{a}g{1}(x)f(x)dx$, $b_{2}= \int^{b}{a}g{2}(x)f(x)dx$
em um sistema: $\begin{cases}a_{11} \alpha_{1}+a_{12}\alpha_{2} = b_{1}\ a_{21} \alpha_{1}+a_{22}\alpha_{2} = b_{2} \end{cases}$
$a_{ij}= \int^{b}{a}g{i}(x)g_{j}(x)dx$, $b_{i}= \int^{b}{a}g{i}(x)f(x)dx$ Lembrando: $a_{ij}=a_{ji}$