Considere o espaço vetorial $R^{n}$ das n-uplas $(x_{1}, x_{2},…, x_{n})$ de números reais. A norma euclidiana em $R^{n}$ é dada por $||(x_{1}, x_{2},..,x_{n})|| = \sqrt{x_{1}^{2} + .. + x_{n}^{2}}$
$d = ||x-y||$ outras normas:

  • norma da soma -> $||x||{1}$ = $|x{1}| + |x_{2}| +…+|x_{n}|$
  • norma do máximo -> $||x||{\infty} = max{1\leq x \leq n} |x_{i}|$ – usaremos essa

Todas essas normas são equivalentes e também induzem à ideia de distância em $R^{n}$.

Normas de matriz

Seja: $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}… & a_{1n} \ a_{21} & a_{22}… & a_{2n} \ a_{n1} & a_{n2}… & a_{nn} \end{bmatrix}$$ Norma linha de A: $||A||{\infty } = max\lbrace \sum{j=1}^{n}\limits{|a_{ij}}\rbrace$ Norma coluna de A: $||A||{1} = max \lbrace \sum{i=1}^{n}\limits{|a_{ij}|} \rbrace$

Método Iterativo de Jacobi

Considere um sistema na forma matricial: $Ax = B$ onde $A$ é uma matriz $n\times m$

Vamos reescrever o sistema como $$x= Bx+c$$ e então definimos uma sequência iterativa por $$x^{(k+1)}= Bx^{(k)}+c$$ para k = 0, 1, 2,3 …, com uma aproximação inicial de $x^{(0)}$, onde k+1 são os índices da sequência.

Teste de parada:

dada uma precisão $\epsilon > 0$, tomaremos como aproximação $\bar x$ da solução real $\xi$ de $Ax = B$ o valor $x^{(k+1)}$ que satisfaz: $$||x^{(k+1)}-x^{(k)}||_{\infty}< \epsilon$$

Teorema do Método de Jacobi

Seja $\xi$ a solução do sistema $Ax = B$, ou equivalentemente, $x=Bx+c$. Para alguma norma matricial $||.||$, se $||B||=\lambda<1$, então a sequencia $(X^{(k)})$ converge para $\xi$ com qualquer escolha do vetor inicial $x^{(0)}$, isto é $$\lim_{k\rightarrow\infty} ||x^{(k)}-\xi||_\infty=0$$