• vamos ver métodos numéricos p/ resolver equações do tipo $f(x) = 0$
• onde $f:[a,b]$ reais é uma continua derivável em (a,b)
• $f$ tem derivadas de todas as ordem de $(a,b)$

Um numero real (ou complexo) $\xi$ é um zero da função $f(x)$ ou uma raiz da equação $f(x) = 0$, ou ainda, uma solução de $f(x) = 0$, se $f(\xi) = 0$

• estamos interessados somente em raízes reais. Deixaremos o caso complexo de fora.

Interpretação Gráfica link

ex. no caderno…

Graficamente, um zero de $f(x)$ é um ponto que corresponde à intersecção do gráfico de $f(x)$ com o eixo $x$ .

$\xi_1 = -3$, $ξ_2 = -2$, $ξ_3 = -\frac{1}2$, $ξ_4 = 2$

O Método de obtenção de raízes aproximadas consiste em 2 fases:

• 1. localização dos zeros
• 2. refinamento dos zeros

Fase 1 - Localização de zeros link

Precisaremos do Teorema A:

• seja $f(x)$ uma função contínua no intervalo $[ a, b]$. Se $f(a) . f(b) \lt 0$, então existe $\xi \in (a,b)$ , tal que $f(\xi) =0$ . Basicamente, se f(a) tem sinal inverso a f(b), então, $f(\xi) = 0$.
  • esse teorema garante que existam raízes, mas não determina quantas.
    • exemplo no caderno
  • a escolha ideal de um intervalo é aquele que contempla menos raízes (preferencialmente uma) contido em si. Lembre-se que $f(a) . f(b) \lt 0$
  • derivada não muda de sinal, idealmente

def: Sejam $f(x)$ e $f’(x)$ contínuos em $[a,b]$ ; Se $f(a) . f(b) \lt 0$ e $f’(x)$ não altera seu sinal em $(a,b)$, então existe um único zero de $f(x)$ em $[a,b]$

Outros métodos ferozes de verificação dos 0 da função link

a partir de $f(x) = 0$,1 podemos obter uma equação do tipo

• $h(x) = g(x)$ onde h(x) e g(x) são mais simples que f(x).

ex: $f(x) = \sin(x) -e^{-\frac{-x}{4}}$

• podemos reescrever a equação $f(x) = 0$ como $\sin(x) -e^{-\frac{-x}{4}} = 0$, portanto:
  • $\sin(x) -e^{-\frac{-x}{4}} =0$
  • $\sin(x) = e^{-\frac{-x}{4}}$
    $g(x) = \sin(x)$ e $h(x) = e^{-\frac{-x}{4}}$
• ou seja, os 0 de $f(x)$ são os pontos de intersecção entre os novos gráficos $h(x)$ e $g(x)$

Tabelamento para achar os 0 link

Usando o Teorema A1, podemos encontrar zeros de $f(x)$ de forma sistemática tabelando alguns valores e analisando os sinais de $f(x)$ nesses valores.

ex: considere a função:

• $f(x) = \arctan{g(x)} - (8x⁴ - 8x² +1)+\frac12$