Modelo uniforme

Def: Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme no intervalo $[a,b]$ se sua função densidade de probabilidade for dada por: $$ f(x) \begin{cases} \frac{1}{b-a} & se & a \leq x\leq b \ \ \ 0, & se & x<a \ ou \ x>b \end{cases} $$ Notação: $X \eqcirc u(a,b)$ média: $E(X) = \frac{b+a}{2}$ variância: $V(X) = \frac{(b-a)²}{12}$

  1. $f(x) \geq0$
  2. $\int^{\infty}_{-\infty}\limits{f(x)dx} = 1$
  3. $f(x) = P(X\leq x)$
    • disclaimer, toda variável contínua $P(X = x) = 0$
  4. função de distribuição acumulada = $\int^{x}_{-x}\limits{f(x)dx}$

Exercício

  1. Um ônibus chega dez minutos em um ponto de parada. Assume-me que o tempo de espera para 1 indivíduo é uma v.a com dist. contínua. a) Qual a P de que o indivíduo espere mais que 10m? $\int^{10}_{7}\limits{\frac{1}{10}}dx$ = $\frac{3}{10}$

b) qual a $P(|x-5|\leq2)$? = 0.4

Coeficiente de Variação

$CV = \frac{desvio}{média}$

Modelo Exponencial

Definição: A variável aleatória X tem dist. Exponencial de parâmetro $\alpha (\alpha \geq 0)$, se tiver densidade dada por: $$\begin{cases} \alpha e^{-\alpha x}, & se \ x\geq0 \ 0, & caso \ contrário \end{cases}$$ Média: $E(X) = \frac{1}{\alpha}$ Variância: $V(X) = \frac{1}{\alpha^{2}}$

  1. Tempo -> v.a exponencialmente distribuida. média de tempo numa rede = 30s, de modo que -> $f(x) = \frac{1}{30}e^{-\frac{x}{30}}$ $F(x) = \int^{x}_{-\infty}\limits{\alpha e^{-\alpha x} dx} = 1 - e^{-\alpha x} \rightarrow P(x>35) = 1 - P(X \leq 35) \approx 3.11$