Teorema (Fatoração LU)

Seja A uma matriz $n\times m$ e $A_k$ a martiz constituida das primeiras k linhas e k colunas de A. Se $det(A_k) \neq 0, \forall k=1, 2, 3, …, n-1$ então A admite uma composição A=LU , onde $L = (l_{ij}){n\times m}$ é uma matriz triangular inferior $U = (u{ij}){n\times m}$ é uma matriz triangular superior e $det(A) = u{11} \times u_{22} \times … \times u_{nn}$

Decomposição com pivoteamento

Se em cada etapa $k$ foi aplicada uma permutação $P_{k}$, então: $$L.U = P.A$$ onde $P = \prod_{k=0}^{n-1}P_{k}$

exemplo 1

$$A^{(0)}={\begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 \ 2 & 1 & 1 \ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$ procedimento: Verificar se essa matriz admite decomposição LU e, em caso afirmativo, obter L e U com pivoteamento parcial. Solução: $A_{1}=[1]$ $A_{2}= {\begin{bmatrix} 1 & 4 \ 2 & 1\end{bmatrix}}$ $det(A_{1}) = 1 \neq 0$ $det(A_{2})= 1 - 8 = -7 \neq 0$ pelo teorema, $A^{(0)}$ admite decomposição LU.

pivoteamento parcial: eliminação de Gauss etapa 1:

$$A^{(0)}={\begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 \ 2 & 1 & 1 \ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$ trocar linha 1 <-> 3

$$ \bar A^{(0)} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 1 \ 1 & 4 & 1 \end{bmatrix} = P_{13}A^{(0)}$$

$a_{n}=3$ (pivô) $$m_{21} = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{2}{3} \ , m_{31}= \frac{a_{31}}{a_{11}} = \frac{1}{3} $$

$$A^{(1)}={\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \ m_{21}= \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{-1}{3} \ m_{31}=\frac{1}{3} & \frac{11}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}} ops: L_{2}^{(1)} - m_{21}.L_{1}^{(0)} \ e \ L_{3}^{(0)}-m_{31}.L_{1}^{(0)}$$ Etapa 2:

$$ \bar A^{(1)} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \ \frac{1}{3} & \frac{11}{3} & \frac{1}{3} \ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{-1}{3} \end{bmatrix} = P_{23}A^{(1)}$$

$$m_{32}= \frac{a_{32}}{a_{22}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{3}} = \frac{1}{11}$$

$$A^{(2)}={\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \ \frac{1}{3} & \frac{11}{3} & \frac{1}{3} \ \frac{2}{3} & m_{32}=\frac{1}{11} & \frac{-12}{33} \end{bmatrix}} ops: L_{3}^{(1)} - m_{32}.L_{2}^{(1)}$$ A matriz L é $$L = \begin{bmatrix} L & 0 & 0 \ \frac{1}{3} & 1 & 0 \ \frac{2}{3} & \frac{1}{11} & 1 \end{bmatrix}$$ A matriz U é $$U = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \ 0 & \frac{11}{3} & \frac{1}{3} \ 0 & 0 & \frac{-12}{33} \end{bmatrix}$$ Logo, $L.U = P.A \ onde \ P_{23}.P_{13}.A$ $$P=P_{23}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}= P_{23}.P_{13}\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $$L.U = P.A^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ \frac{1}{3} & 1 & 0 \ \frac{2}{3} & \frac{1}{11} & 1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \ 0 & \frac{11}{3} & \frac{1}{3} \ 0 & 0 & \frac{-12}{31} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 \ 2 & 1 & 1 \ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$