Truncamento

seja S$[10, t, M_{min}, M_{max}]$ um sistema de aritmética de ponto flutuante de $t$ dígitos. Então todo número em $S$ é forma:

$\pm0. d_1.d_2 …d_t.10^M$

com $M\in [M_{min}, M_{max}]$ inteiro $d_x1$ ≠ 0

$x = f_x .10^q+g_x .10^{q-t}$

$0.1 \leq |f_x| \lt 1 , 0.1 \leq |g_x| <1$

Para calcular o erro na aproximação por truncamento, calculamos primeiro o erro absoluto:

$|EAx| = |f_x .10^q+g_x .10^{q-t}-f_x.10^q|$

portanto,

==$|EAx| < 10^{q-t}$==

No caso do erro relativo, temos:

$|ERx| = |\frac{EAx}{x}| = \frac{|EAx|}{|x|}$

$|ERx| = \frac{|EAx|}{|f_x.10^q|} = \frac{10^{q-t}}{|f_x.10^q|}$

$|ER_x| < {10^{1-t}}$

Arredondamento

No arredondamento, temos:

$x = [\binom{f_x.10^q, se |g_x| <0.5}{f_x.10^q+10^{q-t}, se |g_x| \geq0.5}]$

$|EAx| = |f_x *10^q+g_x 10^{q-t}-f_x10^q|$

$|EAx| < \frac12*10^{q-t}$

percebe-se que o arredondamento tem a metade da estimativa quando comparado ao erro do truncamento

1° caso)

$|ERx| = |\frac{EAx}{x}| = \frac{|EAx|}{|x|}$

$|ERx| < \frac{0.510^{q-t}}{|f_x10^q|} = \frac{0.510^{-t}}{f_x} \lt 0.510^{1-t}$

2° caso) $|g_x| \geq 0,5$

Nesse caso, a aproximação = $f_x*10^q+10^{q-t}$

$|EAx| = |f_x .10^q+g_x .10^{q-t}-(f_x.10^q +10^{q-t})|$

$|EAx| = |g_x-1|*10^{q-t}$

como $|g_x| \geq 0,5 =>|g_x-1|\geq 0.5$

então, podemos dizer que o erro absoluto é:

==$|EAx| \leq 0.5* 10^{q-t}$==

Olhando então, o erro relativo,

$|ERx| = \frac{|EAx|}{|x|}<\frac{0.510^{q-t}}{f_x10^q+10^{q-t}}$

portanto, o erro é estimado como:

==$|ERx| < 0.5*10^{1-t}$==

Operações com Aritméticos que pertencem a S$[10,t,M_{min}, M_{max}]$

Dados x e y quaisquer, para realizar operações em S$[10,t,M_{min}, M_{max}x]$, supondo que x e y pertençam a S, devemos:

    1. Escrever x e y como elementos desse sistema
    1. Efetuar a operação aritmética normalmente, (x+y, x-y, x.y ou x/y)
    1. Reoperar os elementos para dentro do sistema, se necessário

Exemplo:

x = 3.7945 e

y = 75.7099,

calcular $x+y, x-y, x.y, x/y$, no sistema $S[10, 3, -10, 10]$

Solução:

x = 0.379_945_ _$*10¹$_

⇒ $x = 0.379*10¹$

$0.757099*10¹$⇒

y = $0.757*10²$

⇒ $x + y = 0.37910¹ +0.75710^{2}$

= $0.794910² = 0.79410²$

faça as outras ai…

Estimando erros nas operações dentro do sistema

Adição

Erro Absoluto

Observe que :

$EA_x = x -x_a=>x=x_a+EA_x$

da mesma forma, vale para y

$y = y_a +EA_y$

Somando as duas relações, temos

$x+y= x_a+y_a + EA_x+EA_y$

portanto, o erro absoluto na aproximação da soma x + y por $x_a+y_a$ →

==$EA_{x+y} = EA _x +EA_y$==

Erro Relativo

No caso do erro relativo, temos:

$ER_x = \frac{EA_x}{x_a}$

Logo,

$ER_{x+y} = \frac{EA_{x+y}}{x_a+y_a}$

$\frac{EA_x}{x_a}\frac{x_a}{x_a+y_a}+\frac{EA_y}{y_a}\frac{y_a}{x_a+y_a}$

==$ER_{x+y}= ER_x(\frac{x_a}{x_a+y_a})+ER_y(\frac{y_a}{x_a+y_a})$==

Subtração

Multiplicação

Erro Absoluto

Lembrando que

$x = x_a +EA_x$

$y = y_a +EA_y$

$x * y= x_a +EA_x*y = y_a +EA_y$ ⇒

$x_ay_a+xEA_x+yEA_y+(EA_x)(EA_y)$

podemos supor, portanto que

$(EA_{x})(EA_y)= 0$ ⇒

$EA_{x-y}{=} \bar xEA_{\bar x}+\bar yEA_x$

Erro Relativo

[…]